توان:
در مدار الکتریکی و در محاسبه ولتاژ جریان و توان ، باید دقت کنیم این محاسبات برای یک شاخه صورت
می گیرد که این شاخه می تواند مقاومت ، سلف ، خازن ، و منابع مستقل یا وابسته ولتاژ و جریان باشد ،
در هر رابطه که می نویسیم باید دقت کنیم جهت ها را برای آن عنصر متناظر در نظر گرفته ایم ، زمانیکه
جهت ها متناظر نباشند در روابط علامت منها را باید لحاظ کرد .

توان برایک عنصر با جهت های متناظر مانند شکل مقابل

اگر مدار DC باشد حاصل توان یک عدد است ،

اگر مدار AC باشد ( سینوسی باشد ) داریم :

رابطه بالا یک رابطه زمانی است (توان لحظه ای )
توان لحظه ای حول یک عدد نوسان دارد ( حالت سینوسی دارد ).

حالت مثلثاتی :

وقتی منابع سینوسی هستند ، در محاسبات معمولا توان متوسط مورد نیاز است و معمولا به محاسبه توان
لحظه ای نیست .




توان متوسط عنصر مقاومت :

در مقاومت قانون اهم برقرار است یعنی V=Ri

حال اگر جریان سینوسی باشد ، یعنی داشته باشیم ؛

بنابراین طبق قانون اهم خواهیم داشت ؛

ملاحظه می شود فاز جریان I و V با هم مساوی و برابر است با زاویه I ،
اگر در رابطه توان متوسط زاویه و ولتاژ جریان مساوی شود خواهیم داشت ،

توان متوسط سلف و خازن :

سلف و خازن توان متوسط ندارند و برابر صفر است ؛

چرا ؟ چون رابطه ولتاژ و جریان دیفرانسیلی است یعنی در سلف داریم ؛

بنابراین اگر

VL برابر خواهد شد با ؛

اگر این رابطه را ساده کنیم ،

به همین ترتیب توان متوسط خازن نیز صفر می شود ، البته به لحاظ منطقی نیز توان متوسط سلف و خازن
باید صفر شود ، زیرا توان متوسط یعنی توان تلفاتی و در مدار الکتریکی توان فقط در مقاومت تلف می شود
و در سلف و خازن ذخیره می شود .





توان متوسط منابع :

اختلاف بین ولتاژ و جریان غیر از صفر و 90 درجه است ،

توان مختلط ( توان ظاهری ):

یعنی محاسبه توان در حوزه فازور،

مثال :
I = 3 + 4 j          V = 1 + 2j
I = 3 - 4j            V = 1- 2j

نحوه انتخاب ZL به طوریکه بیشترین توان متوسط در آن تلف شود :

وقتی بخواهیم در دوسر دلخواه مداری ،ZL را به گونه ای حساب کنیم که بیشترین توان به آن انتقال داده
شود خواهیم داشت ؛

که در این حالت 50% توان متوسط مدار به دو سر A و B منتقل می شود.
 

مدار تزویج :
وقتی دو سلف در کنار هم باشند و از یکی جریان عبور کند ، این جریان حول سیم پیچ یک میدان مغناطیسی ایجاد می کند که طبق
قانون القاء فاراده این میدان مغناطیسی باعث می شود یک جریان در سیم پیچ دیگری ایجاد شود .

مدل مدار تزویج :

 
پاسخ حالت دائمی سینوسی :

به این مفهوم که جریان i1 و i2 و ولتاژ v1 و v2 سینوسی هستند ،
برای این کار مدل را در حوزه فازور می بریم ، مطابق شکل زیر ؛

مثال : در شکل شماره 1 / 13 جریان i1 را در مدار زیر بدست آورید :

با توجه به اینکه شکل 1 /13 یک مدار تزویج است و منبع ولتاژ
ورودی سینوسی است با دامنه 2 و 4 بنابراین ابتدا باید مدار
را به حوزه فازور منتقل کرد ،

در این حالت مدار فازوری است و برای بدست آوردن I1 و V4 در حوزه فازور کافیست در حلقه سمت چپ و حلقه سمت راست
KVL بنویسیم ،
در حلقه سمت چپ V1 با منبع موازی است بنابراین V1= 4 ولت می باشد .

حال یک معادله با دو مجهول داریم ، برای پیدا کردن معادله دیگر در حلقه 2 یک KVL می نویسیم ،

از دو رابطه ای که بدست آوردیم جریان I1 قابل محاسبه خواهد بود ،
در این مثال مشاهده می شود که حل مدارهای تزویج مانند حل مدارهای فازوری است ، فقط کافیست اثر القای متقابل سلف ها را
در نظر بگیریم .




مثالی دیگر از حل مدار تزویج ،
به شکل 2 /13 توجه کنید ؛

اکنون که سلف ها اثر القاءمتقابل روی هم دارندنمی توانیم به
شیوه فوق Leq را بدست آوریم ،در اینگونه موارد لازم است
از معادل تونن در حوزه فازور استفاده کنیم ، بنابراین ابتدا مدار را
به حوزه فازور برده و برای محاسبه امپدانس معادل از یک منبع
خارجی استفاده می کنیم ،
به شکل صفحه بعد توجه کنید ؛

مدار در حوزه فازور و استفاده از یک منبع خارجی جهت
محاسبه امپدانس معادل ؛

حال برای محاسبه در دو حلقه سمت راست و چپ KVL می نویسیم :

ترانسفورماتور:
ترانسفورماتور همان مدار تزویج است که جریان ولتاژو امپدانس سیم پیچ اول و دوم را بر حسب تعداد دور سیم پیچ بیان می کند ،

مدار مدل ترانسفورماتور :

برای ساده شدن روابط معمولا تعداد دور یک سیم پیچ را بر مبنای سیم پیچ دیگر می دهند ، مثلا می گوییم تعداد دور سیم پیچ راست
در شکل مدل n برابر تعداد دور سیم پیچ سمت چپ است ، بنابراین در سیم پیچ سمت چپ n1 = 1 قرار داده و در سیم پیچ
سمت راست n2 = n قرار می دهیم و می گوییم تعداد دور سیم پیچ سمت راست n برابر تعداد دور سیم پیچ سمت چپ
است بنابراین مدل و روابط مربوطه به صورت زیر در می آید ؛

نکته :
چون رابطه آخری با توان 2 مرتبط شده است بنابراین تغییر جهت های جریان
و ولتاژ و تغییر نقطه ها در این رابطه بی تاثیر است .




نکته :
اگر در ترانسفورماتور نقطه ها یا جهت های جریان و ولتاژ عوض شد روایط به چه صورت در می آید ؟
برای پاسخ به این سوال به مثال زیر توجه کنید ؛
در شکل شماره 3 / 13 امپدانس Z2 را بدست آورید ؛

مثالی دیگر ؛
در شکل روبرو نقطه ها جابجا نشده اند ولی جهت V1 عوض شده ،

در شکل مقابل نقطه ها جابجا شده و جهت V1 نیز تغییر کرده ،
طبق مدل باید مثبت ولتاژها به سر نقطه دار باشد بنابراین V1
ثابت می ماند ، و همچنین باز طبق مدل جریان باید از سر نقطه دار
وارد سلف شود ولی با جابجایی نقطه جریان I1 از سر بی نقطه وارد
سلف می شود .در نتیجه I1 می دهد -I1

مثال :
در شکل 4 / 13 می خواهیم از دو سر A و B مقدار Zth را بدست بیاوریم ؛

مدار را به حوزه فازور می بریم ؛

برای محاسبه Zth باید مدار را به گونه ای ساده کنیم که هر ترانسفورماتور را به مدار مدل ترانسفورماتور تبدیل کنیم ،
برای این کار در مرحله اول ابتدا در مدار بال منبع ولتاژ را غیر فعال می کنیم و در مدار سمت چپ در دو سر CD امپدانس معادل
را حسابمی کنیم و نام آنرا Z1 می گذاریم به صورت زیر ؛

مرحله دوم :
در مدار وسط با معلوم شدن Z1 می توان Z2 را نیز بدست آورد ،
می دانیم که Z2 امپدانس موازی دو سر سلف است ،
در شکل زیر قسمت درون کادر همانند مدار مدل ترانسفورماتور است ولی کل نقطه ها متفاوت است اما چون در حال محاسبه امپدانس
هستیم تعریف مکان نقطه ها تاثیری ندارد ، بنابراین طبق روابط داده شده خواهیم داشت ؛

مرحله سوم :
حالا Z2 را باید به دو سر GH منتقل کنیم و نام انرا Z3 می گذاریم ، از روی شکل مشخص است Z3 = 10 + Z2
Z3 = 10 +40+40j = 50 + 40 j

مرحله چهارم :
Z3 را به دو سر A و B در شکل اصلی منتقل کرده و نام انرا Z4 می گذاریم ،ملاحظه می کنیم که مدار شامل Z3 تا AB
مانند مدار ترانسفورماتور است و فقط در آن جای نقطه ها عوض شده است که تاثیری در حل ندارد زیرا در حال محاسبه امپدانس هستیم

فازورها ( دامنه و فاز ) :
اگر منابع مستقل مدار AC باشد در اینصورت محاسبه پاسخ خصوصی از روش حل مدار ، زمانیکه منابع DC است ( سمت راست
معادله یک عدد است ) بدست نمی آید و باید روشی برای بدست آوردن پاسخ خصوصی ارائه کرد ، اما پاسخ همگن مدار ، مانند
گذشته بدست می آید ، زیرا برای بدست آوردن پاسخ همگن ( عمومی ) طرف راست معادله دیفرانسیل را مساوی صفر قرار
می دهیم
طرف راست معادله نشان دهنده منابع مستقل مدار است ، وقتی آنرا صفر می کنیم ، یعنی منابع مستقل را غیر فعال کرده ایم ،
بنابراین فرقی نمی کند که این منابع مستقل DC باشد یا AC.

تفاوت پاسخ عمومی و پاسخ خصوصی از روی ترسیم پاسخ :
در یک مدار معادله دیفرانسیل بصورت زیر داده شده است ؛

در این مدار یکبار فرض می کنیم منابع مستقل DC است یعنی سمت راست معادلعه یک عدد است ، بنابراین پاسخ خصوصی
برابر است با :

و برای پاسخ عمومی از روی

و

پاسخ را بدست می اوریم ، بنابراین خواهیم داشت ؛

اگر فرض کنیم پاسخ زیر میرایی است بنابراین شکل پاسخ بصورت زیر بدست می آید ؛

اگر منابع مستقل مدار AC باشند ؛
به طور مثال اگر منابع سینوسی باشند ، شکل موج پاسخ گذرا و پاسخ خصوصی
به صورت مقابل می باشد ؛

در این مثال پاسخ عمومی مانند مثال قبل است ،                                                               پاسخ خصوصی بصورت سینوسی و به شکل زیر است

                                  

جمع دو پاسخ ، پاسخ کل مدار است که بصورت ؛

در بحث فازورها می خواهیم پاسخ حالت دائمی سینوسی یعنی پاسخ خصوصی را برای مدارهائیکه منابع مستقل آنها سینوسی است بدست آوریم ،






تابع سینوسی :
تابعی که بصورت زیر نوشته شود تابع سینوسی نام دارد ،

ثابت می شود اگر در یک مدار خطی تغییر ناپذیر با زمان ورودی یک تابع سینوسی با فرکانس

باشد ، خروجی نیز یک تابع
سینوسی است با فرکانس

، یعنی خروجی با ورودی همفرکانس است و فقط دامنه و فاز خروجی با ورودی متفاوت است ،
بنابراین اگر در یک مدار بصورت زیر ورودی

و خروجی

باشد خواهیم داشت ؛

منظور از خروجی همان پاسخ خصوصی یا پاسخ حالت دائمی است .






برای محاسبه دامنه و فاز خروجی کافی است مداررا به حوزه فازور منتقل کنیم ، حوزه فازور یعنی نگهداشتن دامنه و فاز ورودی درمدار
و حذف

از مدار ،

نحوه انتقال مدار از حوزه زمان به حوزه فازور :
عناصر مدار با استفاده از تبدیل جدول زیر از حوزه زمان به حوزه فازور تبدیل می شوند ،

به مدار شماره 1 / 11 توجه کنید ،
می خواهیم پاسخ حالت دائمی سینوسی را برای V1 و V2 بدست آوریم ؛

برای بدست آوردن V1 و V2 که موهومی هستند
فقط کافیست آنها را از مختصات دکارتی به مختصات قطبی
تبدیل کنیم ،

یادآوری تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی :
اگر یک عبارت موهومی به صورت Z= A+jB داشته باشیم و آنرا در صفحه مختلط رسم کنیم ، بصورت زیر خواهد شد ؛

دامنه و فاز Z نیز به صورت زیر بدست می آید ؛

نکته ،
اگر در مدار هم پاسخ عمومی را بخواهند و هم پاسخ خصوصی را ، برای حل و بدست آوردن پاسخ عمومی نیاز داریم معادله دیفرانسیل
مدار را بدست آوریم ، اگر معادله دیفرانسیل را داشته باشیم از روی آن می توان پاسخ خصوصی را محاسبه کرد و نیازی به استفاده از
روش فازوری نیست

نحوه محاسبه شرایط اولیه :

مسئله 10 فصل 5 ؛
به شکل 1/10 توجه کنید ، می خواهیم Vo را بدست آوریم ؛

همانطور که ملاحظه کردید این مدار دارای دو خازن
است که نمی توانیم آنها را ساده کنیم ، پس مدار
یک مدار مرتبه دوم است .

در مسئله گفته

یعنی تابع پله
است ،
همانطور که می دانیم در تابع پله و در t< 0 منبع مستقل در مدار وجود نداشته و خازن ها شارژ نمی باشند بنابراین می توان نتیجه
کرفت که مقدار اولیه خازن ها صفر بوده است ،
حالا در t>o منبع در مدار وجود دارد ، خازن ها هم که گفتیم شارژ نشده بودند پس پاسخ ما پاسخ حالت صفر است ، یعنی منبع
داریم و مقدار اولیه نداریم ،
مسئله از ما Vo را خواسته ، کافیست گره ها را در مدار پیدا کرده و در آنها KCL بنویسیم ،
یادمان باشد که در KCL
حتما باید جهت جریان ها را
انتخاب کنیم .

نحوه محاسبه شرایط اولیه :
در مدارهای مرتبه دوم شرایط اولیه عبارت است از مقدار تابع در لحظه

و مقدار مشتق مرتبه اول تابع در لحظه

به عنوان مثال برای محاسبه

در این مثال باید به نکات زیر توجه کنیم :
1- آیا

ولتاژ دو سر خازن هست یا نه ؟
اگر ولتاژ دو سر خازن بود ( که در این مثال هست ) بنابراین تغییر آنی ولتاژ وجود ندارد و خواهیم داشت :

اما اگر ولتاژ دو سر خازن نبود باید مدار را در لحظه

رسم کرد و از روی آن ولتاژ مورد نظر را محاسبه کرد .
2- رسم مدار در

:
در این حالت خازن معادل منبع ولتاژ و سلف معادل منبع جریان است ولی باید توجه داشت مقدار منبع ولتاژ برابر مقدار ولتاژ خازن
در لحظه صفر منفی است و مقدار منبع جریان برابر مقدار جریان سلف در لحظه صفر منفی می باشد ، اگر در صفر منفی خازن و سلف
شارژ نشده باشند بنابراین مقدار آنها در لحظه صفر مثبت برابر صفر است ، یعنی در لحظه صفر مثبت به جای خازن اتصال کوتاه و به جای سلف مدار باز قرار می دهیم .
3- برای محاسبه مشتق مرتبه اول تابع در لحظه صفر مثبت باید رابطه ای پیدا کرد که در آن مشتق تابع وجود داشته باشد و از روی
آن بعد از محاسبه

برای این مثال خاص مقادیر t را صفر قرار داد ، یعنی باید توجه کنیم که

در لحظه صفر به معنای
مشتق از

نیست ، بلکه باید تابع

را بدست آورد و سپس به جای t صفر قرار داد یعنی خواهیم داشت :

دنباله حل مسئله :
برای محاسبه

باید مدار را در

رسم کرد ؛

منبع ولتاژی که مقدارش صفر باشد معادل عنصر اتصال کوتاه است ، پس به جای منبع ولتاژ اتصال کوتاه قرار می دهیم ،

مقاومت 10 اهمی از مدار خارج می شود ، چون دو سرش اتصال کوتاه است ، توجه داشته باشید که مقاومت حذف نمی شود بلکه
اتصال کوتاه می شود ، ( اتصال کوتاه در عمل یعنی یک نقطه ) ،

مسئله 25 :
i1 را در تمام زمانها بدست آورید ؛(شکل شماره 1/12 )
 

کلید A قبلا باز بوده و کلید B قبلا بسته بوده
وقتی کلید A بسته می شود مدار به دو قسمت
تبدیل می شود ،و مقاومت 2 اهمی از مدار
خارج می شود چون دو سرش اتصال کوتاه است
از لحظه صفر تا یک نیز ، سلف با هر مقدار شارژ
که داشته باقی می ماند ، از لحظه یک به بعد
که کلید B باز می شود ، سلف قدرتش را در مقاومت تخلیه می کند ،

شکل مدار در

بصورت زیر است :

شکل مدار در

نیز بصورت زیر است :

و در آخر شکل مدار در

بصورت زیر خواهد بود :

مسئله 62، شکل شماره 2 / 12 :

همانطور که در شکل دیدید مدار دارای دو منبع
مستقل است که سلف 10 H را شارژ کرده اند ،
وقتی کلید در t=0 بسته می شود مدار اتصال
کوتاه شده و از همین جا مدار به د وقسمت تبدیل
می شود ،
ما در اینجا می خواهیم جریان اتصال کوتاه را بدست
آوریم بنابراین قبل از جدا کردن مدار یک KCL
می نویسیم ،
برای این کار جهت جریان ها را به دلخواه انتخاب می کنیم

مسئله 58، شکل شماره 3 / 12 :

این مدار در t>0 و t<0 منبع دارد
پس پاسخ کامل است ،

پاسخ ضربه

یادآوری :
مثال 41 فصل 4 ؛
به شکل شماره 1 / 9 توجه کنید
می خواهیم v(t) و همچنین h(t) ( پاسخ ضربه ) را بدست بیاوریم ،

و اما مسئله پاسخ ضربه را هم می خواهد ،
تعریف تایع ضربه به صورت مقابل داده شده است :

اگر این تابع را رسم کنیم به صورت مقابل مشخص می شود

در مورد تابع ضربه می توان گفت مساحت
تابع برابر یک است یعنی خواهیم داشت ،

با توجه به تعریف انجام شده برای تابع ضربه می توان گفت ؛تابع ضربه عبارت است از مشتق تابع پله ، بنابراین خواهیم داشت ،

می توان اثبات کرد که پاسخ ضربه نیز برابر است با مشتق پاسخ پله ، بنابراین برای بدست آوردن پاسخ ضربه یک مدار کافی است پاسخ پله را محاسبه کرد و از آن مشتق گرفت ، در این مثال پاسخ ضربه برابر است با ؛

در این پاسخ جمله سمت راست در تابع ضربه ضرب شده است ، از آنجاکه تابع ضربه در همه زمانها بجز در لحظه t = o مقدار ندارد
بنابراین ضریب

در پاسخ ضربه را باید ساده کنیم ،
برای ساده کردن آن کافی است در ضریب

به جای t مقدار صفر قرار دهیم ،
در این مثال خواهیم داشت ،

پاسخ ضربه را با h(t) نشان می دهند و پاسخ پله را با s(t) .
 

 

مسئله 37 فصل 4 ،
در شکل 2 / 9 می خواهیم پاسخ پله و پاسخ ضربه ولتاژ دو سر خازن را بدست آوریم ؛

وقتی در مسئله ای گفته می شود پاسخ پله را بدست آورید یعنی ورودی را معادل u(t)قرار دهیم .

 

 

 

مدارهای مرتبه دوم

مدارهایی که شامل دو عنصر ذخیره کننده انرژی باشند را مدارهای مرتبه دوم می نامند زیرا که معادله آنها یک معادله دیفرانسیل
مرتبه دوم خواهد شد ،
در درس مدار یک مدارهایی را بررسی می کنیم که شامل یک سلف و یک خازن باشند ، این مدارها می توانند تعدادی مقاومت و
منابع وابسته و مستقل نیز داشته باشند ،
مدارهای مرتبه دوم را مدارهای RLC و همچنین مدارهای رزونانس می نامند .
مدارهای مرتبه دوم یا همگن هستند یا ناهمگن ،
اگر همگن باشد ورودی صفر داریم ، در این مدار منبع مستقل نداریم ،
اگر ناهمگن باشد دو حالت داریم ؛

یا شرایط اولیه صفر است که در این حالت پاسخ حالت صفر داریم
یا شرایط اولیه صفر نیست که در این حالت پاسخ حالت کامل داریم

بدست آوردن معادله دیفرانسیل مدارهای مرتبه دوم با استفاده از KCL و KVL و همچنین روابط بین ولتاژ و جریان خازن و
روابط بین ولتاژ و جریان سلف و قانون اهم امکان پذیر می باشد ،
اگر شرایط اولیه معلوم باشد معادله قابل حل است ،
برای معادله مدارهای مرتبه دوم مقدار تابع در صفر و مشتق درجه یک در صفر مورد نیاز است .
 

 

مثالی برای درک بهتر موضوع ،
در یک مدار مرتبه دوم ، معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه
بصورت زیر بدست آمده است ، مقدار تابع را بدست آورید .

مثال برای درک موضوع فوق میرایی – میرایی بحرانی و زیر میرایی :

در اینجا ترازوی عقربه ای را در فروشگاه میوه فروشی در نظر می گیریم ،
در هنگام وزن کردن 2 کیلو گرم سیب ، اگر عقربه ترازو به آرامی بالا رور تا به عدد 2 کیلو گرم برسد مثالی از حالت فوق میرایی است،
اگر عقربه ترازو به سرعت به عدد 2 رسید و ایستاد حالت میرایی بحرانی را نشان می دهد ،
اگر عقربه ترازو برای نشان دادن عدد 2 به دفعات روی اعداد دیگر برود و برگردد تا بالاخره روی عدد 2 بایستد حالت زیر میرایی را نشان
می دهد .
اگر عقربه ترازو روی هیچ عددی نایستد و دائما حول عدد 2 نوسان کند حالت بدون اتلاف را نشان می دهد.
 

ضرایب K1 و K2 و K و از روی شرایط اولیه محاسبه می شود ،

الفا با مقاومت رابطه دارد و با سلف و خازن ،

مثال ،
در یک مدار معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه بصورت مقابل داده شده است ، مقدار تابع را بدست آورید ،

 

برای محاسبه K1 و K2 ابتدا V0 را از روی تابع بدست می آوریم ، خواهیم داشت ،

این مقدار V(0) را باV(0)
شرایط اولیه مساوی قرار می دهیم یعنی ،

سپس از تابع مشتق گرفته و به جای t
عدد صفر قرار می دهیم ، خواهیم داشت ،

این مقدار را با مقدار اولیه مشتق مرتبه
اول مساوی قرار می دهیم ، پس خواهیم داشت ،