معادلات دیفرانسیل ومدارات مرتبه اول ودوم

وجود سلف وخازن در یک مدار سبب می شود که معادلات کیرشهف به معادلات دیفرانسیل تبدیل گردند. اگر معادله دیفرانسیل بدست آمده یک معادله دیفرانسیل خطی از مرتبه اول باشد به آن مدار ، مدار مرتبه اول و اگر از مرتبه دوم باشد به آن مدار مرتبه دوم می گوییم .

  روش بدست آوردن معادله دیفرانسیل حاکم بر مدار را شرح دهید.

بهترین وساده ترین روش برای بدست آوردن معادله دیفرانسیل حاکم بر یک مدار استفاده از عملگر مشتق D است. در این روش هر سلف مدار را با یک مقاومت با مقدار DL وهر خازن را با یک مقاومت با مقدار

(1? DC)

جایگزین می کنیم ومعادلات کیر شهف لازم را می نویسیم . توانهای مثبت D را با مشتقات مرتبه اول و دوم وتوانهای منفی را با انتگرال جایگزین می کنیم به عوان مثال:

  در شکل زیر معادله دیفرانسیلی که با حل آن ولتاژ منبع جریان بدست می آید را بنویسید.

به جای سلف L یک مقاومت LD و به جای خازن یک مقاومت

(1? CD)

قرار می دهیم . سپس معادله KCL را برای گره بالای منبع جریان می نویسیم . داریم:

  برای مدار شکل زیر معادله دیفرانسیلی که با حل آن V_R بدست می آید بنویسید.

با تبدیل سلف به یک مقاومت 1D وخازن به مقاومت و نوشتن KCL در گره بالای مقاومت 2 اهمی داریم.

  معادله دیفرانسیلی که با حل آن V در شکل زیر مشخص می شود را بنویسید.

با تبدیل سلف به عنصر مقاومتی D وخازن به

(1? D)

و نوشتن یک KCL در گره بالای خازن داریم:

طرفین را در D ضرب می کنیم داریم

  مدارهای مرتبه اول

در مدارهای مرتبه اول ، معادله دیفرانسیل توصیف کننده رفتار مدار از مرتبه اول است. این معادله یک جواب عمومی ویک جواب خصوصی دارد که جواب کامل آن حاصل جمع جواب خصوصی و عمومی خواهد بود.  

  جواب عمومی وخصوصی معادله دیفرانسیل مرتبه اول چیست؟

در یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله مشخصه از درجه یک است و اگر فرض کنیم s = s₁ ریشه آن باشد . این مقدار معمولا منفی است لذا آن را بصورت

s1 = -(1? ? )

فرض می کنیم. به طوریکه به ? ثابت زمانی مدار گفته می شود و واحد آن ثانیه است پس پاسخ عمومی در یک سیستم درجه 1 عبارت است از :

پاسخ خصوصی(y_p(t همواره تابعی است از نوع تابع ورودی که فقط در دامنه با آن تفاوت دارد. در مدارها توابع ورودی همان منابع مستقل یا ثابت هستند. پاسخ کلی مدار عبارت است از :

y(t) = y_h(t) + y_p(t)

با توجه به شرایط اولیه

t = 0+

و شرایط ماندگار

t = ?

ضرایب مجهول محاسبه می شوند.  

برای مدار مرتبه اول متشکل از خازن ومقاومت ثابت زمانی به صورت ? وبرای مدار متشکل از سلف ومقاومت به صورت(? = (L ?R تعریف می شود که R مقاومت دیده شده از دو سر سلف یا خازن (مقاومت تونن یا نورتن) است.  

  نکته:

اگر در مداری دو خازن یا بیشتر وجود داشته باشد در صورتیکه خازنها تشکیل یک حلقه بدهند این مدار مدار مرتبه اول می باشد.
اگر در مداری دو سلف یا بیشتر وجود داشته باشد در صورتیکه سلفها تشکیل یک گره بدهند این مدار مدار مرتبه اول می باشد.  

  نکته:

در لحظه

t = 0+

خازن را با یک منبع ولتاژ که برابر با ولتاژ اولیه خازن است و سلف را با یک منبع حریان که برابر با جریان اولیه سلف است جایگزین می کنیم.  

  نکته:

اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد در لحظه

t = 0+

آنرا اتصال کوتاه و اگر جریان اولیه خازن صفر باشد در

t = 0+

آنرا مدار باز در نظر می گیریم.  

  نکته:

ولتاژ خازن و جریان سلف تغییرات جهشی ندارند مگر اینکه در لحظه

t = 0+

در دو سر خود مقاومتی نبینند. یعنی اگر با اتصال کوتاه شدن خازن ومدار باز شدن سلف مقاومت موجود حذف شود، آنگاه ولتاژ خازن و جریان سلف می توانند به طور جهشی تغییر کنند در غیر اینصورت نمی توانند.